瞬間の加速度と運動方程式

CADで設計する方の解析力学　今回は瞬間の加速度と運動方程式の関係です。運動方程式といえばF=maですが、瞬間の加速度と密接な関係があります。難しいことはあつかいませんが、イメージができれば力と加速度の関係がバッチリです。

等速運動

現実的ではありませんが、等速運動と運動方程式の関係を考えてみます。

電車が停止している状態での運動方程式

停止している電車と言っても地球の自転や太陽系の周りをまわってたり振動など複雑に加速状態がありますけどその辺は無視してください。

朝8時でも8時半でも停止していれば速度の変位はありません。

この状態ではv₀（8時）のv₁（8時半）も0。

加速度は1秒間当たりの速度の変位なので

$$a=\frac{v₁-v₀}{t}=0$$

停止している限りどの時間を計っても加速度は0になります、瞬間の加速度も当然0ということです。加速度が無い場合は運動方程式のFも0になりますので、この場合は瞬間の加速度と運動方程式の関係はいつも値は0になります。ちなみにtが1でも10でもaは0になります。電卓で試してみてください。

電車が一定速度で走っている場合もv₀とv₁は同じ値です。但し上記の停止状態と違って0ではありませんよね、だって走ってるんだから。一定速度ならv₀が100キロならv₁も当然100キロです。

$$a=\frac{v₁(100)-v₀(100)}{t}=0$$

瞬間の加速度も0になります。運動方程式の力Fも0の関係になります。

一定速度の場合は運動方程式のFと瞬間の加速度は両者0になります。お伝えしたように一定というのは現実ではありませんので注意してね。

現実の電車の場合100キロで走ってた電車は惰力運転で徐々に減速します。駅に近づくとブレーキで減速して運転手が様子を見ながら減速します。

惰力運転時の加速度a₀は風の抵抗や摩擦で2秒後に98キロまで減速しました。この時電車に働いた力は

$$a₀=\frac{v₁-v₀}{t₁-t₀}$$

であらわすわけにはいきません。

2秒後の加速度が欲しいんです。だから瞬間の加速度が必要になってきます。そして、その瞬間の加速度が運動方程式のFにつながります。

瞬間の加速度と運動方程式の関係は瞬間の速度と瞬間の時間が必要です。

a₀をもとめるには、2秒後のごくわずかな時間でそのときのごくわずかな速度をわれば瞬間の速度になります。

$$a₀=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$

運動方程式のF「力」は式のとおり瞬間の加速度と質量をかけた値になります。F=maとみんなさわいでますが、ここには瞬間の加速度、瞬間の変位、瞬間の時間が関係しています。力というものはそうゆうものなんです。

設計で解析する場合直接力が変位や時間とは関係ないように感じますが、ハンマーで物体を叩いた場合などはハンマーの速度のごくわずかな変位とごくわずかな時間で打撃力が決まります（衝撃力は別の機会で解説します）。

今回は瞬間の加速度と運動方程式のつながりを考察しましたが、式を見るとおもしろい結果が出たりしますので、設計者はつねに小学校程度の算数が必要であることを自覚しておきましょう。

今回もイメージできればおっけーです。

以上でこのページは終了です。

お疲れさまでした。