今回のテーマはピタゴラスの定理です、三平方の定理とも呼ばれていますよね。簡単な証明です、証明ときくと「また計算か～」と思われがちですが小学生程度の理解力があれば大丈夫、だって直角三角形の辺の長さを計算するだけなので…
ピタゴラスの定理とは
直角三角形の底辺の2乗と対辺の2乗をたすと斜辺の2乗に等しいというものです。
図で説明すると
数式をならべてもわかりにくいから絵とみくらべてください。
直角三角形の底辺がx対辺がy斜辺zとします。その場合は
$$z^2=x^2+y^2$$
直角三角形の場合は以上の式が成立します。
この原理をピタゴラスの定理とか三平方の定理といいます。
名前は覚えなくても大丈夫。
3：4：5
直角三角形には3：4：5という比率があります。
対辺が3で底辺が4斜辺5になる直角三角形があります。
3：4：5の法則とよばれています。そのまんま～
別に覚える必要はありません。
証明
といっても、よく数学であつかうような小難しいことはしません。どうしてピタゴラスの定理がなりたつのかの解説です。
四角形の面積を求める
諸説あるとおもいますが、ピタゴラスの定理を考えるには四角形の面積を求めるのがいちばん。道具を使うのも解析に必要です。
四角形Bの面積は
B=z²です。それではAの面積は？
底辺で考えてみます。底辺の長さはx+yになります。どうしてかって、正方形だからです。xでひいたのこりはyになりますので。
Aの面積は上記から
$$A=(x+y)^2$$
x,y,zでかこまれた直角三角形の面積は
$$S=\frac{xy}{2}$$
この式を利用して
Aの面積を求めます。直角三角形が4個、Bが1個ですね。
$$A=\frac{4(xy)}{2}+B$$
各部分に代入すると
$$(x+y)^2=\frac{4(xy)}{2}+z^2$$
この式をとくと
$$x^2+y^2=z^2$$
となりますよね。あとはz²とx²+y²を入れ替えると完了です。
解析のヒント
このように、四角形や三角形または面積などを利用して答えをみちびきだすのは、解析すのに非常に重要です。
今回はピタゴラスの定理を解説しました。当サイトでは公式を覚えたり名称を覚えたりすることを目標にはしていません。
三角関数を学習するときに直角三角形の比率が出てきますので、そのときにピタゴラスの定理が重要になってきます。但し、あくまでも、解析に必要なイメージ力を付けてもらうためのサイトです。公式を覚えたい方や名称を覚えたい方にはごめんなさいです。
このページは以上で終了です。
お疲れさまでした。
おまけ
ピタゴラスさんは、紀元前6世紀ごろのひとで、密教の指導者で結構危ない系のお方だったかも。結構力のある宗教組織に発展しましたが、入門したいと願っていた人が門前払いを受けたためあたまにきて、市民を扇動しその暴徒化した人たちに焼き討ちにされて滅亡したらしい。ピタゴラス本人もその時死んじゃったみたいです。