CAD CAE解析で必要になってくる三角関数。やっかいなのが弧度法、時々でてきます。弧度法、ラジアン、度数法との変換それと弧度法のメリットや面積など関連性に関しても触れてみたいと思います。ただし弧度法は解析の実務ではあまり使用しませんので割愛でも構いません。
弧度法とは
弧度法ってなに！？っていうひとや、そもそも弧度法の名前も聞いたことのない人のために、弧度法の定義を説明しますね。
弧度法の定義
角度の単位はラジアン（rad）といいます。
これだけだとなんだかわかりませんよね。
いっけんすると難しい感じがしますけど、大丈夫です。小学校程度の算数です。
弧度法はただの取り決めなので、そのままイメージしてもらえればオッケーです。
理解するために
単位半径とか単位円弧とか書いちゃいましたが、弧度法は単なる半径と円弧の比率を角度にしているだけですので、単位半径→1、単位円弧→1じゃなくても問題がありません。
$$r=2$$
$$l=2$$
でも角度は1radになります。
以下の場合は、両者とも2radになります。比例ってやつですね。
先に記述したように弧度法は半径と円弧の比率なので、半径が1の時は円弧の長さがそのまま角度になります。
円周=（半径）X2Xπ（3.14）
半径1の時円周長は、
$$l=1\times2\pi$$
$$l=2\pi$$
になります。
度数法の360°は弧度法の2πに相当します。
360°=2π [rad]
ちょっと練習
理解をふかめるため少し練習です。公式を覚えるためではなく、あくまでも理解するための練習です。
度数法の角度が180°で半径が1の場合、弧度法の角度を求めてみましょう。
ヒント
弧度法は単なる半径と円弧長の比率
90°の場合の弧度法の角度を求めてみよう！
ヒントはありません。
よ～く考えてね♪
今度は度数法の角度は記載されていません。
この場合の弧度法による角度を求めてみましょう。
半径は2
円弧長は約3.75です。
今までの解説がわかってる方はかんたんだよ。
弧度法のメリットとは
僕たちにあまり縁のない弧度法なんだけど、一応メリットがあります。そもそもなんかいいことがなければ弧度法なんて存在し得ないので。
扇型の面積がかんたん？
弧度法を使うと扇型の面積が簡単に出ちゃいます（実用てきじゃない）。
度数法で扇型の面積を求めてみよう。
扇型の面積Sは円の面積の
$$\frac{\theta}{360}$$
であらわせます（わかりますか？）
よって
$$S=\pi{r^2}\frac{\theta}{360}$$
になります。
弧度法で扇型の面積Sを求める場合
Sの円弧長は
$$\frac{l}{2\pi{r}}$$
上記が全円弧長に対するS部分の円弧長のわりあいです。ここ重要
わりあいがわかればSの面積がでちゃいますよね。
円の全面積が
$$\pi{r^2ですので}$$
$$S=\pi{r^2}\frac{l}{2\pi{r}}$$
$$S=\frac{1}{2}rl$$
となります。
弧度法でかんたんになる？ ならない！
弧度法で面積を求める場合は簡単じゃありません、かえって意味不明になりますよね。ただし、弧度法ではπという人間には理解不能の数字がなくても面積をあらわすことができます。ここが弧度法の利点となります。CAD CAE解析技術では無視でも大丈夫です。
三角関数の公式に弧度法を適用した場合です。先人たちがπをなくすために研究した成果ですよ。
| 正弦の極限 |
| $$\lim_{x\to0}\frac{{\sin}x}{x}=1$$ |
| 正弦の微分と余弦の微分 |
| $$(\sin{x})’=\cos{x}$$ $$(\cos{x})’=-\sin{x}$$ |
| 正弦のマクローリン展開 |
| $$\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+…$$ |
数式の意味などはわからなくても全く心配いりません。CAD解析では全部コンピューターがやってくれますので…
今回は、弧度法とは何か、弧度法のメリットを掲載しました。私たちの身の回りではなじみがありませんので、少々わかりずらい面があります。だけどわからなくても心配ありません、CAD CAE解析はそのわからない部分はぜ～んぶコンピューターが計算してくれます。
このページで理解してほしいことは、角度をあらわす単位には度数法と弧度法があるということです。もう一つ度数法でも構いませんので、扇型の面積を求める方法を理解してほしいです。公式を覚えるのではなく、他のひとに教えることができるくらいイメージできるようになることです。
少し長くなりましたが、CAD CAE解析の弧度法をおしまいにしたいと思います。
お疲れさまでした。
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